《常微分方程》极简笔记归纳

整理常微分方程的常见形式、求解方法与计算步骤。

Dorian ZengNov 22, 202510 min read中文

前言

个人自制学习资料，无商业用途。

绪论

常微分方程模型：$F\left( t,\Phi,\Phi',\ldots,\Phi^{(n)} \right) = 0$
概述：
- 包含$C$的称通解，不包含的称一个特解。通解到特解的转换需$n$个初值条件，该转换称为求解 "Cauchy 问题 "/" 初值问题 "
- 求不出精确解，几何分析$\frac{d\phi(t)}{dt} = f\left( t,\phi(t) \right)$
1. 积分曲线：解簇曲线
2. 线素：有意义点$\left( t_{0},\phi_{0}(t) \right)$的切线斜率$\phi'\left( t_{0} \right)$对应的短切线
3. 线素场：区域内线素集合
4. 等倾线：连续的导数相等点的集合
5. 平衡解：常数特解，几何上确定的点 / 线
6. 规范形式：$\phi^{(n)}(t) = f\left( t,\Phi,\Phi',\ldots,\Phi^{(n - 1)} \right)$
7. $n$阶 ode 通解含$n$个独立$C$，独立性由 Jacobi 行列式验证：
$$ \det\frac{\partial\left( \phi,\phi',\ldots,\phi^{(n - 1)} \right)}{\partial\left( C_{1},C_{2},\ldots,C_{n} \right)} \neq 0 $$

初等积分法

变量分离形式

变量分离方程

$$ \frac{dy}{dx} = X(x)Y(y) $$

两边同乘$\frac{dx}{Y(y)}$，积分
一阶线性方程

$$ \frac{dy}{dx} = a(x)y + b(x) $$

常数变易公式：

$$ y = e^{\int_{}^{}{a(x)dx}}\left( C + \int_{}^{}{b(x)e^{- \int_{}^{}{a(x)dx}}dx} \right) $$
Bernoulli 方程

$$ \frac{dy}{dx} = a(x)y + b(x)y^{n} $$

换元$z = y^{1 - n}$, 化简得

$$ \frac{dz}{dx} = (1 - n)a(x)z + (1 - n)b(x) $$
齐次方程

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{p(x,y)}{q(x,y)} $$

$p(x,y)$、$q(x,y)$中每项$x,y$次数和一致，$x$最高$m$次

上下同乘$\frac{1}{x^{m}}$，换元$z = \frac{y}{x}$
线性分式方程

$$ \frac{dy}{dx} = f\left( \frac{a_{1}x + b_{1}y + c_{1}}{a_{2}x + b_{2}y + c_{2}} \right) $$

（$c_{1},c_{2}$不全为 0）

计算$\Delta = \left| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} \right|$
1. 若$\Delta = 0$，换元$z = a_{1}x + b_{1}y$或$a_{2}x + b_{2}y$
2. 若$\Delta \neq 0$，计算$n = \frac{\left| \begin{matrix} c_{1} & a_{1} \\ c_{2} & a_{2} \end{matrix} \right|}{\Delta},m = \frac{\left| \begin{matrix} b_{1} & c_{1} \\ b_{2} & c_{2} \end{matrix} \right|}{\Delta}$，换元$z = \frac{y - n}{x - m}$

恰当方程形式

积分因子法
1. 若$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$，说明$\mu = 1$，直接积
2. 一元$\mu\left. （x \right.）\backslash\mu(y)$
  
  算$P = \frac{1}{N}(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x})$，$Q = \frac{1}{M}(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y})$
  
  $P$只与$x$有关或$Q$只与$y$有关：$\mu = e^{\int_{}^{}{P(x)dx}}\ \ or\ \ e^{\int_{}^{}{Q(y)dy}}$
3. 二元$\mu(x,y)$
  
  分组：
  
  $$ \left( M_{1}dx + N_{1}dy \right) + \left( M_{2}dx + N_{2}dy \right) = 0 $$
  
  两组积分因子为$\mu_{1},\mu_{2}$，对应原函数$\phi_{1},\phi_{2}$，则原方程积分因子：
  
  $$ \mu = \mu_{1}H_{1}\left( \phi_{1} \right) = \mu_{2}H_{2}\left( \phi_{2} \right) $$
  
  $H_{1},H_{2}$为任意可微函数

隐式方程

$F\left( x,y,\frac{dy}{dx} \right) = 0$，令$\frac{dy}{dx} = p$

微分法
1. 可解出$y$，$y = f(x,p)$，求导得$p = \frac{df(x,p)}{dx}$
2. 可解出$x$，$x = f(y,p)$，求导得$1 = \frac{df(y,p)}{dx}$，用代换$\frac{dp}{dx} = p\frac{dp}{dy}$消$dx$
参数法

仅由$x\backslash y,p$组成，已求出$x\backslash y$，合理换参使另一个好积

$dx = \frac{1}{p}dy$，$dy = pdx$（已知量不一定要对$p$微分）

初等积分法的一些应用

奇解

$p$判别式：$\left\{ \begin{array}{r} F(x,y,p) = 0 \\ F_{p}'(x,y,p) = 0 \end{array} \right.\ $，消$p$得$p$判别曲线

$C$判别式：$\left\{ \begin{array}{r} F(x,y,C) = 0 \\ F_{C}'(x,y,C) = 0 \end{array} \right.\ $，消$C$得$C$判别曲线
高阶微分方程
1. 不显含$x,y$：令最低阶为$p$
2. 齐次方程：可化成第 1 类方程
3. 全微分方程：直接对$x$积分降阶
4. 仅含$\frac{dy}{dx}$，最高阶奇数，必有实数解，隐式通解：
$$ \ f\left( \frac{dy}{dx} \right) = f\left( \frac{y - C}{x} \right) = 0 $$
Riccati 方程

$$ \frac{dx}{dt} = a(t)x^{2} + b(t)x + c(t) $$

特解$x_{0}$，换元$y = x - x_{0}$，化为 Bernoulli 方程：

$$ \frac{dy}{dt} = \left( 2a(t)x_{0} + b(t) \right)y + a(t)y^{2} $$

线性方程

存在性与唯一性

$n$元一阶非齐次线性方程组$\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{A}(t)\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)$，$\mathbf{A}(t)$为$n$阶方阵函数，$\mathbf{f}(t)$为$n$维列向量函数，均连续

定理 3.1 在定义区间上有唯一解$\mathbf{x}\left. （t \right.）$满足初值条件$\mathbf{x}\left. （t_{0} \right.） = \mathbf{x}^{0}$

齐次线性方程组的通解结构

$$ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{A}(t)\mathbf{x} $$

定理 3.2 齐次方程解的线性组合也是齐次方程解，解的全体$S$为$n$维线性空间

$n$个线性无关的解合称一个基本解组，判线性无关引入：

定义 3.1 Wronski 行列式：解矩阵$\mathbf{X}(t)$行列式$\det\ \mathbf{X}(t)$

定理 3.3 解组线性无关充要条件：Wronski 行列式某点不为$0$（即恒不为零），且满足 Liouville 公式：
$$ W(t) = W\left( t_{0} \right)\exp\left( \int_{t_{0}}^{t}{tr\ \mathbf{A}(\tau)d\tau} \right) $$
$tr\ \mathbf{A}(t)$：$\mathbf{A}(t)$的迹，对角线元素和

定义 3.2 标准解矩阵：某点为$I$的基本解矩阵

非齐次线性方程组的通解

$$ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{A}(t)\mathbf{x} + \mathbf{f}(t) $$

定理 3.4 通解：$\mathbf{x}(t) = \mathbf{X}(t)\mathbf{c} + \mathbf{x}^{*}(t)$ $\mathbf{x}^{*}(t)$为某特解，$\mathbf{X}(t)$为对应齐次方程的基本解矩阵，$\mathbf{c}$为$n$维常数列向量

定理 3.5 常数变易公式：
$$ \mathbf{x}^{*}(t) = \mathbf{X}(t)\int_{t_{0}}^{t}{\mathbf{X}^{\mathbf{- 1}}(\tau)\mathbf{f}(\tau)d\mathbf{\tau}} $$

$$ \mathbf{x}(t) = \mathbf{X}(t)\left( \mathbf{c} + \int_{t_{0}}^{t}{\mathbf{X}^{\mathbf{- 1}}(\tau)\mathbf{f}(\tau)d\mathbf{\tau}} \right) $$

高阶线性方程

（核心思想不变，扩展到高阶）

$$ \frac{d^{n}x}{dt^{n}} + a_{1}(t)\frac{d^{n - 1}x}{dt^{n - 1}} + \ldots + a_{n}(t)x = 0 $$

定理 3.6 $n$个线性无关解$x_{1}(t),x_{2}(t),\ldots,x_{n}(t)$，通解为：
$$ \mathbf{x}(t) = \sum_{\mathbf{i} = 1}^{n}{\mathbf{C}_{k}\mathbf{x}_{k}(t)} $$

定理 3.7 解组线性无关充要条件：Wronski 行列式某点不为 0，且满足 Liouville 公式：
$$ W(t) = W\left( t_{0} \right)\exp\left( - \int_{t_{0}}^{t}{a_{1}(\tau)d\tau} \right) $$

定理 3.8 非齐次通解：$\mathbf{x}(t) = \sum_{i = 1}^{n}{\mathbf{C}_{k}\mathbf{x}_{k}(t)} + \mathbf{x}^{*}(t)$
$$ x^{*}(t) = \sum_{k = 1}^{n}{\int_{t_{0}}^{t}{\frac{x_{k}(t)W_{k}(\tau)}{W(\tau)}f(\tau)d\tau}} $$
$W_{k}(\tau)$:$W(\tau)n$行$k$列元素的代数余子式

复值解和级数解法

复指数函数：$e^{\lambda} = e^{a + bi} = e^{a}(cosb + isinb)$
复值线性方程组：$\frac{d\mathbf{z}}{dt} = \mathbf{A}(t)\mathbf{z} + \mathbf{f}(t)$
复值函数：$z(t) = x(t) + iy(t)$
复值$n$阶方阵函数$\mathbf{A}(t) = \mathbf{A}_{\mathbf{R}}(t) + i\mathbf{A}_{\mathbf{I}}(t)$

定理 3.9 $\frac{d\mathbf{z}}{dt} = \mathbf{A}(t)\mathbf{z} + \mathbf{f}(t) \gg$
$$ \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{R}(t) & - A_{I}(t) \\ A_{I}(t) & A_{R}(t) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} f_{R}(t) \\ f_{I}(t) \end{pmatrix} $$

定理 3.10 $\frac{dz}{dt} = A_{R}(t)z$的充要条件是$x,y$均满足该式

定理 3.11 若$f(t,x)$可收敛展成：$f(t,x) = \sum_{k,l = 0}^{\infty}{\gamma_{kl}\left( t - t_{0} \right)^{k}\left( x - x_{0} \right)^{l}}$ 则$\frac{dx}{dt} = f(t,x)$在$t_{0}$附近有唯一解析解

定理 3.12 $\ddot{x} + a(t)\dot{x} + b(t)x = 0$，$a(t)\backslash b(t)$可展成收敛$\left( t - t_{0} \right)$幂级数，则有收敛幂级数解：
$$ x(t) = \sum_{j = 0}^{\infty}{c_{j}\left( t - t_{0} \right)^{j}} $$

常系数线性方程

引入$D = \frac{d}{dt}$

$$ \frac{d^{n}x}{dt^{n}} + a_{1}\frac{d^{n - 1}x}{dt^{n - 1}} + \ldots + a_{n - 1}\frac{dx}{dt} + a_{n}x $$

$$ = \left( D^{n} + a_{1}D^{n - 1}\ldots + a_{n - 1}D + a_{n} \right)x $$

$$ = P(D)x = f(t) $$

齐次问题

欧拉待定指数函数法：$x(t) = e^{\lambda t}$，$P(D)x = P(\lambda)x = 0$

定理 4.* 上式有$N$个互异解$\lambda_{i}$（重数$n_{i}$），则基本解组
$$ e^{\lambda_{i}t},te^{\lambda_{i}t},\ldots,t^{n_{i} - 1}e^{\lambda_{i}t} $$

非齐次问题

逆算子求一特解：$x^{*}(t) = \frac{1}{P(D)}f(t)$，不用管$C$

逆算子基本性质：$\frac{1}{D^{i}}$为 i 次积分，线性，乘交换

定理 4.3 1. 解析展开：$f(t)$最高$k$次，常用展开
$$ \frac{1}{P(D)} = \frac{1}{1 - Q(D)} = 1 + Q(D) + Q(D)^{2} + \ldots + Q(D)^{k} $$
2. 代换法：$\frac{1}{P(D)}e^{\lambda t} = \frac{1}{P(\lambda)}e^{\lambda t}\ \ \ \ \left( P(\lambda) \neq 0 \right)$ 3. 二项式法：$\frac{1}{P(D)}e^{\lambda t}v(t) = e^{\lambda t}\frac{1}{P(D + \lambda)}v(t)$

常系数线性方程组

$$ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{Ax} $$

定理 4.4 $\mathbf{A}$有$n$个互异特征根$\lambda_{i}$，特征向量$\mathbf{c}_{\mathbf{i}}$，则基本解组$\mathbf{c}_{\mathbf{i}}e^{\lambda_{i}t}$ 矩阵的指数函数：
$$ e^{\mathbf{A}} = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{\mathbf{A}^{k}}{k!} $$

定理 4.5 齐次得到基本解矩阵$e^{t\mathbf{A}}$，也是标准解矩阵；则非齐次通解：
$$ \mathbf{x}(t) = e^{t\mathbf{A}}\mathbf{c} + \int_{t_{0}}^{t}e^{(t - s)\mathbf{A}}\mathbf{f}(s)ds $$
$e^{t\mathbf{A}}$的初等有限和表达：
$$ \mathbf{x}(t) = e^{\lambda_{i}t}\left\lbrack \mathbf{c}_{\mathbf{0}} + \frac{t}{1!}\mathbf{c}_{\mathbf{1}} + \ldots + \frac{t^{n_{i} - 1}}{\left( n_{i} - 1 \right)!}\mathbf{c}_{\mathbf{n}_{\mathbf{i}}\mathbf{- 1}} \right\rbrack $$

重特征根：

例：

2 重根$\lambda_{2} = \lambda_{3}$，2 个特征向量$c_{20},c_{30}$

计算$c_{21} = \left( A - \lambda_{2}I \right)c_{20},c_{31} = \left( A - \lambda_{3}I \right)c_{30}$

则对应重根的解：$C_{2}e^{\lambda_{2}t}\left( c_{20} + \frac{t}{1!}c_{21} \right),C_{3}e^{\lambda_{3}t}\left( c_{30} + \frac{t}{1!}c_{31} \right)$

定性理论初步

概述

定正：0 是唯一零解，$x \neq 0$时恒大于 0
常正：0 不是唯一零解，$x \neq 0$时恒大于 0

Lyapunov 直接法

给出关于$x(t),y(t)$的微分式 *

构造定正函数$V(x,y)$，依式 * 计算$\frac{dV}{dt}$

结果常负则式 * 零解稳定，定负渐近稳定，定正不稳定

线性系统平衡点类型和稳定性分析

给出$\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}$，均令为 0 求出平衡点$(x_{0},y_{0})$

对于某平衡点$(x_{0},y_{0})$，变量代换

$$ u = x - x_{0}\ \ \ \ v = y - y_{0} $$

得到线性部分系数矩阵$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，验证$\det A \neq 0$

计算两特征根：

互异实根$\lambda_{1},\lambda_{2}$：
1. 同号：两向结点，同负渐稳、同正不稳
2. 异号：鞍点，不稳定
重根$\lambda$：为负渐稳、为正不稳

$A$可对角化，星形结点

$A$不可对角化，单向结点
互异复根$\alpha \pm j\beta$：

$\alpha = 0$：中心，稳定但不是渐近稳定

$\alpha \neq 0$：焦点，为负渐稳、为正不稳

闭轨的存在性

Poincare-Bendixson 环域定理：

两函数$X,Y$在连续可微域$G$内存在有界环形闭区域$D$，若$D$内无平衡顶，且从边界出发的轨道不穿过边界，则$D$内存在闭轨
Bendixson 判据： $G$内某单连通区域$D$内

$$ \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} $$

不变号且不恒为 0，则$D$内无闭轨
Dulac 判据：

$G$内某单连通区域$D$内（$B$为$D$内连续可微函数）

$$ \frac{\partial BX}{\partial x} + \frac{\partial BY}{\partial y} $$

不变号且不恒为 0，则$D$内无闭轨

Hamilton 系统

平面 Hamilton 系统，" 动能 + 势能 " 型：

$$ \frac{dx}{dy} = \frac{\partial H}{\partial y} = y\ \ \ \frac{dy}{dx} = - \frac{\partial H}{\partial x} = - g(x) $$
Hamilton 函数：

$$ H(x,y) = \frac{y^{2}}{2} + G(x) = \frac{y^{2}}{2} + \int_{0}^{x}{g(s)ds} $$