--- title: 《常微分方程》 极简笔记归纳 date: '2025-11-22' summary: 整理常微分方程的常见形式、求解方法与计算步骤。 lang: zh category: Notes legacy_url: https://dozybot001.github.io/2025/11/22/2025-11-22-ordinary-differential-equations/ --- ### 前言 个人自制学习资料，无商业用途。 ## 绪论 1. 常微分方程模型：$F\left( t,\Phi,\Phi',\ldots,\Phi^{(n)} \right) = 0$ 2. 概述： - 包含$C$的称通解，不包含的称一个特解。通解到特解的转换需$n$个初值条件，该转换称为求解 "Cauchy 问题 "/" 初值问题 " - 求不出精确解，几何分析$\frac{d\phi(t)}{dt} = f\left( t,\phi(t) \right)$ 1. 积分曲线：解簇曲线 2. 线素：有意义点$\left( t_{0},\phi_{0}(t) \right)$的切线斜率$\phi'\left( t_{0} \right)$对应的短切线 3. 线素场：区域内线素集合 4. 等倾线：连续的导数相等点的集合 5. 平衡解：常数特解，几何上确定的点 / 线 6. 规范形式：$\phi^{(n)}(t) = f\left( t,\Phi,\Phi',\ldots,\Phi^{(n - 1)} \right)$ 7. $n$阶 ode 通解含$n$个独立$C$，独立性由 Jacobi 行列式验证： $$ \det\frac{\partial\left( \phi,\phi',\ldots,\phi^{(n - 1)} \right)}{\partial\left( C_{1},C_{2},\ldots,C_{n} \right)} \neq 0 $$ ## 初等积分法 ### 变量分离形式 1. 变量分离方程 $$ \frac{dy}{dx} = X(x)Y(y) $$ 两边同乘$\frac{dx}{Y(y)}$，积分 2. 一阶线性方程 $$ \frac{dy}{dx} = a(x)y + b(x) $$ 常数变易公式： $$ y = e^{\int_{}^{}{a(x)dx}}\left( C + \int_{}^{}{b(x)e^{- \int_{}^{}{a(x)dx}}dx} \right) $$ 3. Bernoulli 方程 $$ \frac{dy}{dx} = a(x)y + b(x)y^{n} $$ 换元$z = y^{1 - n}$, 化简得 $$ \frac{dz}{dx} = (1 - n)a(x)z + (1 - n)b(x) $$ 4. 齐次方程 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{p(x,y)}{q(x,y)} $$ $p(x,y)$、$q(x,y)$中每项$x,y$次数和一致，$x$最高$m$次 上下同乘$\frac{1}{x^{m}}$，换元$z = \frac{y}{x}$ 5. 线性分式方程 $$ \frac{dy}{dx} = f\left( \frac{a_{1}x + b_{1}y + c_{1}}{a_{2}x + b_{2}y + c_{2}} \right) $$ （$c_{1},c_{2}$不全为 0） 计算$\Delta = \left| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} \right|$ 1. 若$\Delta = 0$，换元$z = a_{1}x + b_{1}y$或$a_{2}x + b_{2}y$ 2. 若$\Delta \neq 0$，计算$n = \frac{\left| \begin{matrix} c_{1} & a_{1} \\ c_{2} & a_{2} \end{matrix} \right|}{\Delta},m = \frac{\left| \begin{matrix} b_{1} & c_{1} \\ b_{2} & c_{2} \end{matrix} \right|}{\Delta}$，换元$z = \frac{y - n}{x - m}$ ### 恰当方程形式 1. 积分因子法 1. 若$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$，说明$\mu = 1$，直接积 2. 一元$\mu\left. （x \right.）\backslash\mu(y)$ 算$P = \frac{1}{N}(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x})$，$Q = \frac{1}{M}(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y})$ $P$只与$x$有关或$Q$只与$y$有关：$\mu = e^{\int_{}^{}{P(x)dx}}\ \ or\ \ e^{\int_{}^{}{Q(y)dy}}$ 3. 二元$\mu(x,y)$ 分组： $$ \left( M_{1}dx + N_{1}dy \right) + \left( M_{2}dx + N_{2}dy \right) = 0 $$ 两组积分因子为$\mu_{1},\mu_{2}$，对应原函数$\phi_{1},\phi_{2}$，则原方程积分因子： $$ \mu = \mu_{1}H_{1}\left( \phi_{1} \right) = \mu_{2}H_{2}\left( \phi_{2} \right) $$ $H_{1},H_{2}$为任意可微函数 ### 隐式方程 $F\left( x,y,\frac{dy}{dx} \right) = 0$，令$\frac{dy}{dx} = p$ 1. 微分法 1. 可解出$y$，$y = f(x,p)$，求导得$p = \frac{df(x,p)}{dx}$ 2. 可解出$x$，$x = f(y,p)$，求导得$1 = \frac{df(y,p)}{dx}$，用代换$\frac{dp}{dx} = p\frac{dp}{dy}$消$dx$ 2. 参数法 仅由$x\backslash y,p$组成，已求出$x\backslash y$，合理换参使另一个好积 $dx = \frac{1}{p}dy$，$dy = pdx$（已知量不一定要对$p$微分） ### 初等积分法的一些应用 1. 奇解 $p$判别式：$\left\{ \begin{array}{r} F(x,y,p) = 0 \\ F_{p}'(x,y,p) = 0 \end{array} \right.\ $，消$p$得$p$判别曲线 $C$判别式：$\left\{ \begin{array}{r} F(x,y,C) = 0 \\ F_{C}'(x,y,C) = 0 \end{array} \right.\ $，消$C$得$C$判别曲线 2. 高阶微分方程 1. 不显含$x,y$：令最低阶为$p$ 2. 齐次方程：可化成第 1 类方程 3. 全微分方程：直接对$x$积分降阶 4. 仅含$\frac{dy}{dx}$，最高阶奇数，必有实数解，隐式通解： $$ \ f\left( \frac{dy}{dx} \right) = f\left( \frac{y - C}{x} \right) = 0 $$ 3. Riccati 方程 $$ \frac{dx}{dt} = a(t)x^{2} + b(t)x + c(t) $$ 特解$x_{0}$，换元$y = x - x_{0}$，化为 Bernoulli 方程： $$ \frac{dy}{dt} = \left( 2a(t)x_{0} + b(t) \right)y + a(t)y^{2} $$ ## 线性方程 ### 存在性与唯一性 $n$元一阶非齐次线性方程组$\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{A}(t)\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)$，$\mathbf{A}(t)$为$n$阶方阵函数，$\mathbf{f}(t)$为$n$维列向量函数，均连续 > 定理 3.1 在定义区间上有唯一解$\mathbf{x}\left. （t \right.）$满足初值条件$\mathbf{x}\left. （t_{0} \right.） = \mathbf{x}^{0}$ ### 齐次线性方程组的通解结构 $$ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{A}(t)\mathbf{x} $$ > 定理 3.2 齐次方程解的线性组合也是齐次方程解，解的全体$S$为$n$维线性空间 $n$个线性无关的解合称一个基本解组，判线性无关引入： > 定义 3.1 Wronski 行列式：解矩阵$\mathbf{X}(t)$行列式$\det\ \mathbf{X}(t)$ > 定理 3.3 解组线性无关充要条件：Wronski 行列式某点不为$0$（即恒不为零），且满足 Liouville 公式：$$ W(t) = W\left( t_{0} \right)\exp\left( \int_{t_{0}}^{t}{tr\ \mathbf{A}(\tau)d\tau} \right) $$$tr\ \mathbf{A}(t)$：$\mathbf{A}(t)$的迹，对角线元素和 > 定义 3.2 标准解矩阵：某点为$I$的基本解矩阵 ### 非齐次线性方程组的通解 $$ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{A}(t)\mathbf{x} + \mathbf{f}(t) $$ > 定理 3.4 通解：$\mathbf{x}(t) = \mathbf{X}(t)\mathbf{c} + \mathbf{x}^{*}(t)$ $\mathbf{x}^{*}(t)$为某特解，$\mathbf{X}(t)$为对应齐次方程的基本解矩阵，$\mathbf{c}$为$n$维常数列向量 > 定理 3.5 常数变易公式： $$ \mathbf{x}^{*}(t) = \mathbf{X}(t)\int_{t_{0}}^{t}{\mathbf{X}^{\mathbf{- 1}}(\tau)\mathbf{f}(\tau)d\mathbf{\tau}} $$ $$ \mathbf{x}(t) = \mathbf{X}(t)\left( \mathbf{c} + \int_{t_{0}}^{t}{\mathbf{X}^{\mathbf{- 1}}(\tau)\mathbf{f}(\tau)d\mathbf{\tau}} \right) $$ ### 高阶线性方程 （核心思想不变，扩展到高阶） $$ \frac{d^{n}x}{dt^{n}} + a_{1}(t)\frac{d^{n - 1}x}{dt^{n - 1}} + \ldots + a_{n}(t)x = 0 $$ > 定理 3.6 $n$个线性无关解$x_{1}(t),x_{2}(t),\ldots,x_{n}(t)$，通解为： $$ \mathbf{x}(t) = \sum_{\mathbf{i} = 1}^{n}{\mathbf{C}_{k}\mathbf{x}_{k}(t)} $$ > 定理 3.7 解组线性无关充要条件：Wronski 行列式某点不为 0，且满足 Liouville 公式： $$ W(t) = W\left( t_{0} \right)\exp\left( - \int_{t_{0}}^{t}{a_{1}(\tau)d\tau} \right) $$ > 定理 3.8 非齐次通解：$\mathbf{x}(t) = \sum_{i = 1}^{n}{\mathbf{C}_{k}\mathbf{x}_{k}(t)} + \mathbf{x}^{*}(t)$ $$ x^{*}(t) = \sum_{k = 1}^{n}{\int_{t_{0}}^{t}{\frac{x_{k}(t)W_{k}(\tau)}{W(\tau)}f(\tau)d\tau}} $$ $W_{k}(\tau)$:$W(\tau)n$行$k$列元素的代数余子式 ### 复值解和级数解法 1. 复指数函数：$e^{\lambda} = e^{a + bi} = e^{a}(cosb + isinb)$ 2. 复值线性方程组：$\frac{d\mathbf{z}}{dt} = \mathbf{A}(t)\mathbf{z} + \mathbf{f}(t)$ 3. 复值函数：$z(t) = x(t) + iy(t)$ 4. 复值$n$阶方阵函数$\mathbf{A}(t) = \mathbf{A}_{\mathbf{R}}(t) + i\mathbf{A}_{\mathbf{I}}(t)$ > 定理 3.9 $\frac{d\mathbf{z}}{dt} = \mathbf{A}(t)\mathbf{z} + \mathbf{f}(t) \gg$ $$ \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{R}(t) & - A_{I}(t) \\ A_{I}(t) & A_{R}(t) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} f_{R}(t) \\ f_{I}(t) \end{pmatrix} $$ > 定理 3.10 $\frac{dz}{dt} = A_{R}(t)z$的充要条件是$x,y$均满足该式 > 定理 3.11 若$f(t,x)$可收敛展成：$f(t,x) = \sum_{k,l = 0}^{\infty}{\gamma_{kl}\left( t - t_{0} \right)^{k}\left( x - x_{0} \right)^{l}}$ 则$\frac{dx}{dt} = f(t,x)$在$t_{0}$附近有唯一解析解 > 定理 3.12 $\ddot{x} + a(t)\dot{x} + b(t)x = 0$，$a(t)\backslash b(t)$可展成收敛$\left( t - t_{0} \right)$幂级数，则有收敛幂级数解： $$ x(t) = \sum_{j = 0}^{\infty}{c_{j}\left( t - t_{0} \right)^{j}} $$ ## 常系数线性方程 引入$D = \frac{d}{dt}$ $$ \frac{d^{n}x}{dt^{n}} + a_{1}\frac{d^{n - 1}x}{dt^{n - 1}} + \ldots + a_{n - 1}\frac{dx}{dt} + a_{n}x $$ $$ = \left( D^{n} + a_{1}D^{n - 1}\ldots + a_{n - 1}D + a_{n} \right)x $$ $$ = P(D)x = f(t) $$ ### 齐次问题 欧拉待定指数函数法：$x(t) = e^{\lambda t}$，$P(D)x = P(\lambda)x = 0$ > 定理 4.* 上式有$N$个互异解$\lambda_{i}$（重数$n_{i}$），则基本解组 $$ e^{\lambda_{i}t},te^{\lambda_{i}t},\ldots,t^{n_{i} - 1}e^{\lambda_{i}t} $$ ### 非齐次问题 逆算子求一特解：$x^{*}(t) = \frac{1}{P(D)}f(t)$，不用管$C$ 逆算子基本性质：$\frac{1}{D^{i}}$为 i 次积分，线性，乘交换 > 定理 4.3 1. 解析展开：$f(t)$最高$k$次，常用展开 $$ \frac{1}{P(D)} = \frac{1}{1 - Q(D)} = 1 + Q(D) + Q(D)^{2} + \ldots + Q(D)^{k} $$ 2. 代换法：$\frac{1}{P(D)}e^{\lambda t} = \frac{1}{P(\lambda)}e^{\lambda t}\ \ \ \ \left( P(\lambda) \neq 0 \right)$ 3. 二项式法：$\frac{1}{P(D)}e^{\lambda t}v(t) = e^{\lambda t}\frac{1}{P(D + \lambda)}v(t)$ ### 常系数线性方程组 $$ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{Ax} $$ > 定理 4.4 $\mathbf{A}$有$n$个互异特征根$\lambda_{i}$，特征向量$\mathbf{c}_{\mathbf{i}}$，则基本解组$\mathbf{c}_{\mathbf{i}}e^{\lambda_{i}t}$ 矩阵的指数函数： $$ e^{\mathbf{A}} = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{\mathbf{A}^{k}}{k!} $$ > 定理 4.5 齐次得到基本解矩阵$e^{t\mathbf{A}}$，也是标准解矩阵；则非齐次通解： $$ \mathbf{x}(t) = e^{t\mathbf{A}}\mathbf{c} + \int_{t_{0}}^{t}e^{(t - s)\mathbf{A}}\mathbf{f}(s)ds $$ $e^{t\mathbf{A}}$的初等有限和表达： $$ \mathbf{x}(t) = e^{\lambda_{i}t}\left\lbrack \mathbf{c}_{\mathbf{0}} + \frac{t}{1!}\mathbf{c}_{\mathbf{1}} + \ldots + \frac{t^{n_{i} - 1}}{\left( n_{i} - 1 \right)!}\mathbf{c}_{\mathbf{n}_{\mathbf{i}}\mathbf{- 1}} \right\rbrack $$ - 重特征根： 例： 2 重根$\lambda_{2} = \lambda_{3}$，2 个特征向量$c_{20},c_{30}$ 计算$c_{21} = \left( A - \lambda_{2}I \right)c_{20},c_{31} = \left( A - \lambda_{3}I \right)c_{30}$ 则对应重根的解：$C_{2}e^{\lambda_{2}t}\left( c_{20} + \frac{t}{1!}c_{21} \right),C_{3}e^{\lambda_{3}t}\left( c_{30} + \frac{t}{1!}c_{31} \right)$ ## 定性理论初步 ### 概述 - 定正：0 是唯一零解，$x \neq 0$时恒大于 0 - 常正：0 不是唯一零解，$x \neq 0$时恒大于 0 ### Lyapunov 直接法 给出关于$x(t),y(t)$的微分式 * 构造定正函数$V(x,y)$，依式 * 计算$\frac{dV}{dt}$ 结果常负则式 * 零解稳定，定负渐近稳定，定正不稳定 ### 线性系统平衡点类型和稳定性分析 给出$\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}$，均令为 0 求出平衡点$(x_{0},y_{0})$ 对于某平衡点$(x_{0},y_{0})$，变量代换 $$ u = x - x_{0}\ \ \ \ v = y - y_{0} $$ 得到线性部分系数矩阵$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，验证$\det A \neq 0$ 计算两特征根： 1. 互异实根$\lambda_{1},\lambda_{2}$： 1. 同号：两向结点，同负渐稳、同正不稳 2. 异号：鞍点，不稳定 2. 重根$\lambda$：为负渐稳、为正不稳 $A$可对角化，星形结点 $A$不可对角化，单向结点 3. 互异复根$\alpha \pm j\beta$： $\alpha = 0$：中心，稳定但不是渐近稳定 $\alpha \neq 0$：焦点，为负渐稳、为正不稳 ### 闭轨的存在性 - Poincare-Bendixson 环域定理： 两函数$X,Y$在连续可微域$G$内存在有界环形闭区域$D$，若$D$内无平衡顶，且从边界出发的轨道不穿过边界，则$D$内存在闭轨 - Bendixson 判据： $G$内某单连通区域$D$内 $$ \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} $$ 不变号且不恒为 0，则$D$内无闭轨 - Dulac 判据： $G$内某单连通区域$D$内（$B$为$D$内连续可微函数） $$ \frac{\partial BX}{\partial x} + \frac{\partial BY}{\partial y} $$ 不变号且不恒为 0，则$D$内无闭轨 ### Hamilton 系统 - 平面 Hamilton 系统，" 动能 + 势能 " 型： $$ \frac{dx}{dy} = \frac{\partial H}{\partial y} = y\ \ \ \frac{dy}{dx} = - \frac{\partial H}{\partial x} = - g(x) $$ - Hamilton 函数： $$ H(x,y) = \frac{y^{2}}{2} + G(x) = \frac{y^{2}}{2} + \int_{0}^{x}{g(s)ds} $$