《自动控制原理》 常见题型解题步骤

前言

个人自制学习资料，无商业用途。

绘制原理框图：

1. 找出被控对象和被控量，一般在题干给出
2. 找出输入信号和输入变换装置，一般与被控量类型一致
3. 找出连接输入、输出的反馈装置
4. 反馈装置输出的信号与输入变换装置的信号比较，作为比较装置
5. 比较装置后依次连接其他装置

信号流图-Mason 公式求传函：

1. " 输入、输出、干扰、比较点、分支点 " 标点，画出信号流图
2. 检查每个反馈，负反馈需乘-1
3. 找出所有回路，写出增益\(L_{i}\)
4. 求出\(\mathrm{\Delta} = 1 - \sum_{}^{}L_{m1} + \sum_{}^{}L_{m2} - \ldots\)，\(L_{m2}\)表示任意 2 个 " 互不接触回路 " 增益之乘积
5. 找出所有前向通路，写出增益\(P_{i}\)，与去除该通路的\(\mathrm{\Delta}_{i}\)值
6. 根据 Mason 公式\(G(s) = \frac{1}{\mathrm{\Delta}}\sum_{i}^{}{P_{i}\mathrm{\Delta}_{i}}\)，求出传函

闭环传递函数-Routh 判据：

1. 写出闭环传递函数，也就是总传递函数

2. 取出分母，令 =0，得到特征方程

3. 先看特征方程系数是否有 0 或者负数，一旦有则必不稳定

4. 如果全为正数，则写 Routh 表

5. 先列写\(s^{n},s^{n - 1}\ldots s^{0}\)，共\(n + 1\)行

6. 然后用系数上到下，左到右填充前两行

7. 通过规则计算其他行数据：

   下一行第 i 列数据，由上两行第 1 列 2 数和第 i+1 列 2 数，共 4 数算得

   \(b_{i} = - \frac{{|\ \ \ \ |}_{2}}{a_{左下}}\)，分子为上两行 4 个数组成的 2 阶行列式，分母为行列式左下角数

   非首列缺项用 0 代替，首列计算得 0 用极小正数\(\varepsilon\)代替

   某行全为 0，用上一行数据组成辅助方程求导后的系数代替

   所有规则均为排 Routh 表服务，不能继承到后面的判定

8. 观察 Routh 表：

   当首列元素非 0 且无符号改变，则系统稳定

   出现 0，说明存在关于原点对称的一组根

   如果该行其他元素不为 0，则为纯虚根，临界稳定；

   如果该行其他元素均为 0，则不为纯虚根，不稳定

   有符号改变，改变几次，则右半平面有几个根，不稳定

开环传递函数-稳态误差：

1. 写出开环传递函数，注意是开环不是闭环
2. 系统类型 = 开环传递函数分母单\(s\)的阶次
3. 将输入信号拆分成多个基础信号，阶跃、速度、加速度
4. 根据基础信号类型计算相应误差系数，非 0 有限误差系数就是增益\(K\)
5. 根据公式求出稳态误差之和，P77

闭环传递函数-动态性能：

1. 写出闭环传递函数，也就是总传递函数

2. 取出分母，令 =0，得到特征方程

3. 对照\(s^{2} + 2\zeta\omega_{n}s + {\omega_{n}}^{2} = 0\)，得到阻尼比\(\zeta\)和自然振荡角频率\(\omega_{n}\)

4. 根据公式算出其他参数：适用于典型二阶系统

   阻尼角：\(\theta = \arccos\zeta\)

   时间常数：\(T' = \frac{1}{\zeta\omega_{n}}\)

   阻尼振荡角频率：\(\omega_{d} = \omega_{n}\sqrt{|\zeta^{2} - 1|}\)

   上升时间：\(t_{r} = \frac{\pi - \theta}{\omega_{d}}\)

   峰值时间：\(t_{p} = \frac{\pi}{\omega_{d}}\)

   最大超调量：\(M_{p} = e^{- \frac{t_{p}}{T'}}\)

   调整时间：\(t_{s} = 3T'\ or\ 4T'\)

闭环传递函数-根轨迹：

1. 写出闭环传递函数，也就是总传递函数
2. 取出分母，令 =0，得到特征方程
3. 将特征方程化成\(1 + aP(s) = 0\)的形式，可以用\(P(s)\)画出关于参数\(a\)的根轨迹，\(a\)一般为增益因子\(K_{r}\)
4. \(P(s)\)化为零、极点形式，在图上 x 标极点，o 标零点
5. 起：轨迹起始于极点，终止于零点，只有\(m\)个极点终止于\(m\)个零点，\(n - m\)个极点终止于无穷远
6. 分：轨迹共有\(n\)个分支
7. 对：轨迹关于实轴对称
8. 渐：有\(n - m\)条渐进线指向无穷远，渐进中心\(\sigma = \frac{（极点和 - 零点和）}{n - m}\)，渐进倾角\(\varphi = \frac{奇数\pi}{n - m}\)
9. 实：确定实轴上的根轨迹，根轨迹右边的零、极点数之和为奇数
10. 分：确定分离点、会合点，写出参数\(K_{r}\)的表达式，\(K_{r}\)对\(s\)的导数为 0，求出根，在根轨迹上的根为分离点、会合点
11. 出：确定出射角，某极点出射角 + 其他极点到该点的角 =$ 奇数\pi$+ 零点到该点的角
12. 虚：确定虚轴交点，利用特征方程列劳斯表，用使得某一行首列为 0 的\(K_{r}\)，该行上一行作辅助方程，令 =0，求出一组纯虚根

开环传递函数-Bode 图：

1. 写出开环传递函数，注意是开环不是闭环

2. 化成时间常数型，\(s\)改成\(j\omega\)，变成系统的频率特性

3. 写出各转折频率，即时间常数的倒数

4. 标出必经点，\(\left. （1，20lgK \right.）\)

5. 写出系统类型数\(v\)，从斜率为\(- v \cdot 20\ dB\)开始画

6. 遇到分子转折频率则上抬\(20dB\)，遇到分母转折频率则下压\(20dB\)

7. 计算增益剪切频率\(\omega_{c}\)，利用十倍频程的思想

8. 计算相位裕度

   $$ \gamma = 180^{o} + \sum_{}^{}{arctan(分子时间常数 *\omega_{c})} - v \cdot 90^{o} - \sum_{}^{}{arctan(分母时间常数 *\omega_{c})} $$

Bode 图-相位超前校正：

1. 绘制校正前的 Bode 图，写出\(\omega_{c0},\gamma_{0}\)

2. 写出附加的相位超前角度，\(\varphi_{m} = \gamma_{要求} - \gamma_{0} + 安全裕量 \)（\(5\sim 10^{o}\)）

3. 计算校正装置参数，\(\alpha = \frac{1 + sin(\varphi_{m})}{1 - sin(\varphi_{m})}\)，\(10\lg\alpha\)

4. 在原图上标出\(( - 10\lg\alpha,\omega_{m})\)，\(\omega_{m} = \omega_{c1}\)

5. 计算校正装置参数，\(T = \frac{1}{\omega_{m}\sqrt{\alpha}}\)

6. 写出校正装置传函，\(G_{c}(s) = \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{\alpha Ts + 1}{Ts + 1}\)

7. 写明 " 引入\(\alpha\)倍放大器 "

8. 计算校正后的相位裕度

   $$ \gamma_{1} = 180^{o} + \sum_{}^{}{arctan(分子时间常数 *\omega_{c1})} - v \cdot 90^{o} - \sum_{}^{}{arctan(分母时间常数 *\omega_{c1})} $$

9. 绘制校正后的 Bode 图