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title: 《自动控制原理》 常见题型解题步骤
date: '2025-11-21'
summary: 归纳自动控制原理常见题型的分析与解题步骤。
lang: zh
category: Notes
legacy_url: https://dozybot001.github.io/2025/11/21/2025-11-21-automatic-control-principles/
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### 前言

个人自制学习资料，无商业用途。

### 绘制原理框图：

1. 找出被控对象和被控量，一般在题干给出
2. 找出输入信号和输入变换装置，一般与被控量类型一致
3. 找出连接输入、输出的反馈装置
4. 反馈装置输出的信号与输入变换装置的信号比较，作为比较装置
5. 比较装置后依次连接其他装置

### 信号流图-Mason 公式求传函：

1. " 输入、输出、干扰、比较点、分支点 " 标点，画出信号流图
2. 检查每个反馈，负反馈需乘-1
3. 找出所有回路，写出增益$L_{i}$
4. 求出$\mathrm{\Delta} = 1 - \sum_{}^{}L_{m1} + \sum_{}^{}L_{m2} - \ldots$，$L_{m2}$表示任意 2 个 " 互不接触回路 " 增益之乘积
5. 找出所有前向通路，写出增益$P_{i}$，与去除该通路的$\mathrm{\Delta}_{i}$值
6. 根据 Mason 公式$G(s) = \frac{1}{\mathrm{\Delta}}\sum_{i}^{}{P_{i}\mathrm{\Delta}_{i}}$，求出传函

### 闭环传递函数-Routh 判据：

1. 写出闭环传递函数，也就是总传递函数
2. 取出分母，令 =0，得到特征方程
3. 先看特征方程系数是否有 0 或者负数，一旦有则必不稳定
4. 如果全为正数，则写 Routh 表
5. 先列写$s^{n},s^{n - 1}\ldots s^{0}$，共$n + 1$行
6. 然后用系数上到下，左到右填充前两行
7. 通过规则计算其他行数据：

   下一行第 i 列数据，由上两行第 1 列 2 数和第 i+1 列 2 数，共 4 数算得

   $b_{i} = - \frac{{|\ \ \ \ |}_{2}}{a_{左下}}$，分子为上两行 4 个数组成的 2 阶行列式，分母为行列式左下角数

   非首列缺项用 0 代替，首列计算得 0 用极小正数$\varepsilon$代替

   某行全为 0，用上一行数据组成辅助方程求导后的系数代替

   所有规则均为排 Routh 表服务，不能继承到后面的判定

8. 观察 Routh 表：

   当首列元素非 0 且无符号改变，则系统稳定

   出现 0，说明存在关于原点对称的一组根

   > 如果该行其他元素不为 0，则为纯虚根，临界稳定；
   >
   > 如果该行其他元素均为 0，则不为纯虚根，不稳定

   有符号改变，改变几次，则右半平面有几个根，不稳定

### 开环传递函数-稳态误差：

1. 写出开环传递函数，注意是开环不是闭环
2. 系统类型 = 开环传递函数分母单$s$的阶次
3. 将输入信号拆分成多个基础信号，阶跃、速度、加速度
3. 根据基础信号类型计算相应误差系数，非 0 有限误差系数就是增益$K$
4. 根据公式求出稳态误差之和，P77

### 闭环传递函数-动态性能：

1. 写出闭环传递函数，也就是总传递函数
2. 取出分母，令 =0，得到特征方程
3. 对照$s^{2} + 2\zeta\omega_{n}s + {\omega_{n}}^{2} = 0$，得到阻尼比$\zeta$和自然振荡角频率$\omega_{n}$
4. 根据公式算出其他参数：适用于典型二阶系统

   阻尼角：$\theta = \arccos\zeta$

   时间常数：$T' = \frac{1}{\zeta\omega_{n}}$

   > 阻尼振荡角频率：$\omega_{d} = \omega_{n}\sqrt{|\zeta^{2} - 1|}$
   >
   > 上升时间：$t_{r} = \frac{\pi - \theta}{\omega_{d}}$

   峰值时间：$t_{p} = \frac{\pi}{\omega_{d}}$

   最大超调量：$M_{p} = e^{- \frac{t_{p}}{T'}}$

   调整时间：$t_{s} = 3T'\ or\ 4T'$

### 闭环传递函数-根轨迹：

1. 写出闭环传递函数，也就是总传递函数
2. 取出分母，令 =0，得到特征方程
3. 将特征方程化成$1 + aP(s) = 0$的形式，可以用$P(s)$画出关于参数$a$的根轨迹，$a$一般为增益因子$K_{r}$
4. $P(s)$化为零、极点形式，在图上 x 标极点，o 标零点
5. 起：轨迹起始于极点，终止于零点，只有$m$个极点终止于$m$个零点，$n - m$个极点终止于无穷远
6. 分：轨迹共有$n$个分支
7. 对：轨迹关于实轴对称
8. 渐：有$n - m$条渐进线指向无穷远，渐进中心$\sigma = \frac{（极点和 - 零点和）}{n - m}$，渐进倾角$\varphi = \frac{奇数\pi}{n - m}$
9. 实：确定实轴上的根轨迹，根轨迹右边的零、极点数之和为奇数
10. 分：确定分离点、会合点，写出参数$K_{r}$的表达式，$K_{r}$对$s$的导数为 0，求出根，在根轨迹上的根为分离点、会合点
11. 出：确定出射角，某极点出射角 + 其他极点到该点的角 =$ 奇数\pi$+ 零点到该点的角
12. 虚：确定虚轴交点，利用特征方程列劳斯表，用使得某一行首列为 0 的$K_{r}$，该行上一行作辅助方程，令 =0，求出一组纯虚根

### 开环传递函数-Bode 图：

1. 写出开环传递函数，注意是开环不是闭环
2. 化成时间常数型，$s$改成$j\omega$，变成系统的频率特性
3. 写出各转折频率，即时间常数的倒数
4. 标出必经点，$\left. （1，20lgK \right.）$
5. 写出系统类型数$v$，从斜率为$- v \cdot 20\ dB$开始画
6. 遇到分子转折频率则上抬$20dB$，遇到分母转折频率则下压$20dB$
7. 计算增益剪切频率$\omega_{c}$，利用十倍频程的思想
8. 计算相位裕度

   $$\gamma = 180^{o} + \sum_{}^{}{arctan(分子时间常数 *\omega_{c})} - v \cdot 90^{o} - \sum_{}^{}{arctan(分母时间常数 *\omega_{c})}$$

### Bode 图-相位超前校正：

1. 绘制校正前的 Bode 图，写出$\omega_{c0},\gamma_{0}$
2. 写出附加的相位超前角度，$\varphi_{m} = \gamma_{要求} - \gamma_{0} + 安全裕量 $（$5\sim 10^{o}$）
3. 计算校正装置参数，$\alpha = \frac{1 + sin(\varphi_{m})}{1 - sin(\varphi_{m})}$，$10\lg\alpha$
4. 在原图上标出$( - 10\lg\alpha,\omega_{m})$，$\omega_{m} = \omega_{c1}$
5. 计算校正装置参数，$T = \frac{1}{\omega_{m}\sqrt{\alpha}}$
6. 写出校正装置传函，$G_{c}(s) = \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{\alpha Ts + 1}{Ts + 1}$
7. 写明 " 引入$\alpha$倍放大器 "
8. 计算校正后的相位裕度

   $$\gamma_{1} = 180^{o} + \sum_{}^{}{arctan(分子时间常数 *\omega_{c1})} - v \cdot 90^{o} - \sum_{}^{}{arctan(分母时间常数 *\omega_{c1})}$$

9. 绘制校正后的 Bode 图